一、单项选择题（共 15 题，每题 2 分，共计 30 分；每题有且仅有一个正确选项）

1. 有 5 个红球和 5 个蓝球，它们除了颜色之外完全相同。将这 10 个球排成一排，要求任意两个蓝色球都不能相邻，有多少种不同的排列方法？（ ）{{ select(1-1) }}

• 25
• 30
• 6
• 120

2. 在 KMP 算法中，对于模式串 P = "abacaba"，其 next 数组（next[i] 定义为模式串 P[0..i] 最长公共前后缀的长度，其数组下标从 0 开始）的值是什么？（ ）{{ select(1-2) }}

• {0,0,1,0,1,2,3}
• {0,1,2,3,4,5,6}
• {0,0,1,1,2,2,3}
• {0,0,0,0,1,2,3}

3. 对一个大小为 16（下标 0–15）的数组构建线段树，查询区间 [3, 11] 时，最少需要访问多少个树结点（包括路径上的父结点和完全包含在查询区间内的结点）？（ ）{{ select(1-3) }}

• 7
• 8
• 9
• 10

4. 将字符串 “cat”、“car”、“cart”、“case”、“dog”、“do” 插入一个空的 Trie 树（前缀树）中，构建完成 Trie 树（包括根节点）共有多少个结点？（ ）{{ select(1-4) }}

• 8
• 9
• 10
• 11

5. 对于一个包含 n 个结点和 m 条边的有向无环图（DAG），其拓扑排序的结果有多少种可能？（ ）{{ select(1-5) }}

• 只有 1 种
• 最多 n 种
• 等于 n-m 种
• 以上都不对

6. 在一个大小为 13 的哈希表中，使用闭散列法的线性探查来解决冲突。哈希函数为 H(key) = key mod 13。依次插入关键字 18, 26, 35, 9, 68, 74，插入 74 后，它最终被放置在哪个索引位置？（ ）{{ select(1-6) }}

• 5
• 7
• 8
• 11

7. 一个包含 8 个顶点的完全图（顶点的编号为 1 到 8），任意两点之间的边权等于两顶点编号的差的绝对值。例如，顶点 3 和 7 之间的边权重为 |7-3|=4。该图的最小生成树的权重是多少？（ ）{{ select(1-7) }}

• 7
• 8
• 9
• 10

8. 如果一棵二叉搜索树的后序遍历序列是 2, 5, 4, 8, 12, 10, 6，那么该树的前序遍历是什么？（ ）{{ select(1-8) }}

• 6, 4, 2, 5, 10, 8, 12
• 6, 4, 5, 2, 10, 12, 8
• 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12
• 12, 8, 10, 5, 2, 4, 6

9. 一个 0-1 背包问题，背包容量为 20。现有 5 个物品，重量和价值分别为 7, 5, 4, 3, 6 和 15, 12, 9, 7, 13。装入背包的物品能获得的最大总价值是多少？（ ）{{ select(1-9) }}

• 43
• 41
• 45
• 44

10. 在一棵以结点 1 为根的树中，结点 12 和结点 18 的最近公共祖先（LCA）是结点 4。那么下列哪个结点的 LCA 组合是不可出现的？（ ）{{ select(1-10) }}

• LCA(12, 4) = 4
• LCA(18, 4) = 4
• LCA(12, 18, 4) = 4
• LCA(12, 1) = 4

11. 递归关系式 T(n) = 2T(n/2) + O(n²) 描述了某个分治算法的时间复杂度。请问该算法的时间复杂度是多少？（ ）{{ select(1-11) }}

• O(n)
• O(n log n)
• O(n²)
• O(n² log n)

12. 在一个初始为空的最小堆（min-heap）中，依次插入元素 20, 12, 15, 8, 10, 5。然后连续执行两次“删除最小值（delete-min）”操作。请问此时堆顶元素是什么？（ ）{{ select(1-12) }}

• 10
• 12
• 15
• 20

13. 1 到 1000 之间，不能被 2、3、5 中任意一个整除的整数有多少个？（ ）{{ select(1-13) }}

• 266
• 267
• 333
• 734

14. 斐波那契数列的定义为 F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。使用朴素递归方法计算 F(n) 的时间复杂度是指数级的，而使用动态规划（或迭代）方法的时间复杂度是线性的。造成这两种巨大差异的根本原因是？（ ）{{ select(1-14) }}

• 递归函数调用栈开销过大
• 操作系统对递归深度有限制
• 朴素递归中存在大量的重复子问题未被重复利用
• 动态规划使用了更少的数据存储空间

15. 有 5 个独立的、不可抢占的任务 A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ 需要在一台计算机上执行（从时间 0 开始执行），每个任务都有对应的处理时长和截止时刻，按顺序分别为 3, 4, 2, 5, 1 和 5, 10, 3, 15, 11。如果某一个任务超时，相应的惩罚等于其处理时长。为了最小化总惩罚，应该优先执行哪个任务？（ ）{{ select(1-15) }}

• 处理时间最短的任务 A₅
• 截止时间最早的任务 A₃
• 处理时间最长的任务 A₄
• 任选一个任务都可以

二、阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 √，错误填 ×；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

（1）

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
bool flag[27];
int n;
int p[27];
int ans = 0;
void dfs(int k) {
    if (k == n + 1){
        ++ ans;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (flag[i]) continue;
        if (k > 1 && i == p[k - 1] + 1) continue;
        p[k] = i;
        flag[i] = true;
        dfs(k + 1);
        flag[i] = false;
    }
    return;
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    dfs(1);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

判断题

16. 当输入的 n=3 的时候，程序输出的答案为 3。（ ）{{ dropdown(2-1)[√, ×] }}（1 分）

17. 在 dfs 函数运行过程中，k 的取值会满足 1≤k≤n+1。（ ）{{ dropdown(2-2)[√, ×] }}

18. 删除第 19 行的 “flag[i]=false;”，对答案不会产生影响。（ ）{{ dropdown(2-3)[√, ×] }}

单选题

19. 当输入的 n=4 的时候，程序输出的答案为（ ）{{ select(2-4) }}

• 11
• 12
• 24
• 9

20. 如果因为某些问题，导致程序运行到第 25 行的 dfs 函数之前，数组 p 的初值并不全为 0，则对程序的影响是（ ）{{ select(2-5) }}

• 输出的答案比原答案更小
• 无法确定能输出的答案
• 程序可能陷入死循环
• 没有影响

21. 假如删去第 14 行的 “if(flag[i]) continue;”，输入 3，得到的输出答案是（ ）{{ select(2-6) }}

• 27
• 3
• 16
• 12

（2）

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
int cnt_broken = 0;
int cnt_check = 0;
int n, k;
inline bool check(int h) {
    printf("now check:%d\n", h);
    ++cnt_check;
    if (cnt_broken == 2) {
        printf("You have no egg!\n");
        return false;
    }
    if (h >= k) {
        ++cnt_broken;
        return true;
    } else {
        return false;
    }
}
inline bool assert_ans(int h) {
    if (h == k) {
        printf("You are Right using %d checks\n", cnt_check);
        return true;
    } else {
        printf("Wrong answer!\n");
        return false;
    }
}
inline void guess1(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (check(i)) {
            assert_ans(i);
            return;
        }
    }
}
inline void guess2(int n) {
    int w = 0;
    for (w = 1; w * (w + 1) / 2 < n; ++w)
    ;
    for (int ti = w, nh = w;; --ti, nh += ti, nh = std::min(nh, n)) {
        if (check(nh)) {
            for (int j = nh - ti + 1; j < nh; ++j) {
                if (check(j)) {
                    assert_ans(j);
                    return;
                }
            }
            assert_ans(nh);
            return;
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    int t;
    scanf("%d", &t);
    if (t == 1) {
        guess1(n);
    } else {
        guess2(n);
    }
    return 0;
}

（注意：下述的“猜测次数”为调用 check 函数的次数（即 cnt_check 的值）；“猜测正确”的含义为 assert_ans 函数 return true（执行第 25 行 if 语句）的时候。所有输入满足 1≤k≤n。）

判断题

22. 当输入为 “6 5 1” 时，猜测次数为 5；当输入 “6 5 2” 时，猜测次数为 3。（ ）{{ dropdown(2-7)[√, ×] }}

23. 不管输入的 n 和 k 具体为多少，t=2 时的猜测次数总是小于等于 t=1 时的猜测次数。（ ）{{ dropdown(2-8)[√, ×] }}

24. 不管 t=1 或 t=2，程序都一定会得出正确答案。（ ）{{ dropdown(2-9)[√, ×] }}

单选题

25. 函数 guess1 在运行过程中，cnt_broken 的值最多为（ ）{{ select(2-10) }}

• 0
• 1
• 2
• n

26. 函数 guess2 在运行过程中，最多使用的猜测次数的量级为（ ）{{ select(2-11) }}

• O(n)
• O(n²)
• O(√n)
• O(log n)

27. 当输入的 n=100 的时候，代码中 t=1 和 t=2 分别需要的猜测次数最多分别为（ ）{{ select(2-12) }}

• 100, 14
• 100, 13
• 99, 14
• 99, 13

（3）

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#define ll long long
int n, m;
std::vector<int> k, p;
inline int mpow(int x, int k) {
    int ans = 1;
    for (; k; k = k >> 1, x = x * x) {
        if (k & 1)
            ans = ans * x;
    }
    return ans;
}
std::vector<int> ans1, ans2;
int cnt1, cnt2;
inline void dfs(std::vector<int>& ans, int& cnt, int l, int r, int v) {
    if (l > r) {
        ++cnt;
        ans.push_back(v);
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        dfs(ans, cnt, l + 1, r, v + k[l] * mpow(i, p[l]));
    }
    return;
}
std::vector<int> cntans1;
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    k.resize(n + 1);
    p.resize(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d%d", &k[i], &p[i]);
    }
    dfs(ans1, cnt1, 1, n >> 1, 0);
    dfs(ans2, cnt2, (n >> 1) + 1, n, 0);
    std::sort(ans1.begin(), ans1.end());
    int newcnt1 = 1;
    cntans1.push_back(1);
    for (int i = 1; i < cnt1; ++i) {
        if (ans1[i] == ans1[newcnt1 - 1]) {
            ++cntans1[newcnt1 - 1];
        } else {
            ans1[newcnt1++] = ans1[i];
            cntans1.push_back(1);
        }
    }
    cnt1 = newcnt1;
    std::sort(ans2.begin(), ans2.end());
    int las = 0;
    ll ans = 0;
    for (int i = cnt2 - 1; i >= 0; --i) {
        for (; las < cnt1 && ans1[las] + ans2[i] < 0; ++las)
            ;
        if (las < cnt1 && ans1[las] + ans2[i] == 0)
            ans += cntans1[las];
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

判断题

28. 删除第 51 行的 “std::sort(ans2.begin(), ans2.end());” 后，代码输出的结果不会受到影响。（ ）{{ dropdown(2-13)[√, ×] }}

29. 假设计算过程中不发生溢出，函数 mpow(x,k) 的功能是求出 x^k 的取值。（ ）{{ dropdown(2-14)[√, ×] }}

30. 代码中第 39 行到第 50 行的目的是为了将 ans1 数组进行“去重”操作。（ ）{{ dropdown(2-15)[√, ×] }}

单选题

31. 当输入为 “3 15 1 2 -1 2 1 2” 时，输出结果为（ ）{{ select(2-16) }}

• 4
• 8
• 0
• 10

32. 记程序结束前 p 数组元素的最大值为 P，则该代码的时间复杂度是（ ）{{ select(2-17) }}

• O(n)
• O(mⁿ log mⁿ)
• O(m^n/2 log m^n/2)
• O(m^n/2(log m^n/2 + log P))

33. 本题所求出的是（ ）{{ select(2-18) }}

• 满足 a,b,c∈[1,m] 的整数方程 a³+b³=c³ 的解的数量
• 满足 a,b,c∈[1,m] 的整数方程 a²+b²=c² 的解的数量
• 满足 x_i∈[0,m] 的整数方程 ∑_i=1ⁿ k_i·x_i^p=0 的解的数量
• 满足 x_i∈[1,m] 的整数方程 ∑_i=1ⁿ k_i·x_i^p=0 的解的数量

三、完善程序（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

（1）特殊最短路

给定一个含 N 个点、M 条边的带权无向图，边权非负。起点为 S，终点为 T；对于一条从 S 到 T 的路径，可以在整条路径中至多选择一条边作为“免费边”。当第一次经过这条被选中的边时，费用视为 0；如果之后再次经过该边，则仍按其原有权值计算。点和边均允许重复经过。求从 S 到 T 的最小总费用。

以下代码求解了上述问题，试补全程序。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
const long long INF = 1e18;

struct Edge {
    int to;
    int weight;
};

struct State {
    long long dist;
    int u;
    int used_freebie; // 0 for not used, 1 for used
    bool operator>(const State &other) const {
        return dist > other.dist;
    }
};

int main() {
    int n, m, s, t;
    cin >> n >> m >> s >> t;

    vector<vector<Edge>> adj(n + 1);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        adj[u].push_back({v, w});
        adj[v].push_back({u, w});
    }

    vector<vector<long long>> d(n + 1, vector<long long>(2, INF));
    priority_queue<State, vector<State>, greater<State>> pq;

    d[s][0] = 0;
    pq.push({0, s, ①});

    while (!pq.empty()) {
        State current = pq.top();
        pq.pop();

        long long dist = current.dist;
        int u = current.u;
        int used = current.used_freebie;

        if (dist > ②) {
            continue;
        }

        for (const auto &edge : adj[u]) {
            int v = edge.to;
            int w = edge.weight;

            if (d[u][used] + w < ③) {
                ③ = d[u][used] + w;
                pq.push({③, v, used});
            }

            if (used == 0) {
                if (④ < d[v][1]) {
                    d[v][1] = d[u][used];
                    pq.push({d[v][1], v, 1});
                }
            }
        }
    }

    cout << ⑤ << endl;
    return 0;
}

34. ① 处应填（ ）{{ select(3-1) }}

• 0
• 1
• -1
• false

35. ② 处应填（ ）{{ select(3-2) }}

• d[u][!used]
• d[u][used]
• d[t][used]
• INF

36. ③ 处应填（ ）{{ select(3-3) }}

• d[v][1]
• d[v][used]
• d[u][used]
• d[v][0]

37. ④ 处应填（ ）{{ select(3-4) }}

• d[v][0]
• d[v][1]
• d[u][0]
• d[u][1]

38. ⑤ 处应填（ ）{{ select(3-5) }}

• d[t][1]
• d[t][0]
• min(d[t][0], d[t][1])
• d[t][0]+d[t][1]

（2）缺陷生产线测试

工厂打算通过客户反馈来间接测试生产线，从而找到存在缺陷的生产线。工厂有 n 条生产线（编号 0∼n−1），已知其中恰有一条生产线存在缺陷。每一轮测试为，从若干生产线的产品取样混合成一个批次发给客户。若该批次中包含缺陷生产线的产品，客户将要求退货（结果记为 1），否则正常收货（记为 0）。受售后压力限制，在所有发货批次中，最多只能有 k 次退货（即结果为 1 的次数 ≤k）。工厂的目标是，设计最少的间接测试轮数 w（发货总批次），保证根据客户收货或退货的反馈结果，唯一确定存在缺陷的生产线。

以下程序实现了工厂的目标，包含两部分：i) 确定 w 的最小值，并设计最优测试方案；ii) 根据测试结果推断存在缺陷的生产线。该程序确定 w 最小值的方法为：由于不同的生产线故障时，测试应当返回不同的结果，因此 w 轮测试的可能结果总数不应少于生产线数量。

test_subset() 函数为抽象测试接口，输入所有批次的方案并返回一个二进制编码；该编码表示为每批次的检测结果（即最低位是第 1 批次、最高位是第 w 批次）；其实现在此处未给出。

#include <algorithm>
#include <cstddef>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
long long comb(int w, int i) {
    if (i < 0 || i > w) {
        return 0;
    }
    long long res = 1;
    for (int t = 1; t <= i; ++t) {
        res = res * (w - t + 1) / t;
    }
    return res;
}

// 计算长度为w、1的个数 ≤ k 的码字总数
long long count_patterns(int w, int k) {
    long long total = 0;
    for (int t = 0; t <= min(w, k); ++t) {
        total += comb(w, t);
    }
    return total;
}

// 抽象测试接口
int test_subset(const vector<vector<int>> &plan);
int solve(int n, int k) {
    // === 第 1 步: 求最小 w ===
    int w = 1;
    while (①) {
        ++w;
    }
    cout << w << endl;

    // === 第 2 步: 生成测试方案 ===
    vector<vector<int>> code(n, vector<int>(w, 0));
    int idx = 0;
    for (int ones = 0; ones <= k && idx < n; ++ones) {
        vector<int> bits(w, 0);
        fill(bits.begin(), bits.begin() + ones, 1);
        do {
            for (int b = 0; b < w; ++b) {
                code[idx][b] = bits[b];
            }
            ++idx;
            if (idx >= n) {
                break;
            }
        } while (std::②);
    }

    vector<vector<int>> plan(w);
    for (int i = 0; i < w; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (③) {
                plan[i].push_back(j);
            }
        }
    }

    // === 第 3 步: 调用测试接口 ===
    int signature = test_subset(plan);

    // === 第 4 步: 结果解码 ===
    vector<int> sig_bits(w, 0);
    for (int i = 0; i < w; ++i) {
        if (④) {
            sig_bits[i] = 1;
        }
    }

    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (⑤) return j;
    }
}

int main() {
    int n,k;
    cin >> n >> k;
    int ans = solve();
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

39. ① 处应填（ ）{{ select(3-6) }}

• (1 << w) < n
• count_patterns(w, k) < n
• count_patterns(k, w) < n
• comb(w, k) < n

40. ② 处应填（ ）{{ select(3-7) }}

• next_permutation(bits.begin(), bits.end())
• prev_permutation(bits.begin(), bits.end())
• next_permutation(bits.begin(), bits.begin()+ones)
• prev_permutation(bits.begin(), bits.begin()+ones)

41. ③ 处应填（ ）{{ select(3-8) }}

• (j >> i) & 1
• (i >> j) & 1
• code[i][j] == 1
• code[j][i] == 1

42. ④ 处应填（ ）{{ select(3-9) }}

• (signature >> i) & 1
• (signature >> i) ^ 1
• signature | (1 << i)
• (signature >> i) | 1

43. ⑤ 处应填（ ）{{ select(3-10) }}

• is_permutation(code[j].begin(), code[j].end(), sig_bits.begin())
• code[j] == sig_bits
• plan[j] == sig_bits
• code[j][i] == sig_bits[i]