一、单项选择题（共 15 题，每题 2 分，共计 30 分；每题有且仅有一个正确选项）

1. 在 Linux 系统终端中，以下哪个命令用于创建一个新的目录？（ ）{{ select(1-1) }}

• newdir
• mkdir
• create
• mkfolder

2. 0，1，2，3，4 中选取 4 个数字，能组成（ ）个不同四位数。（注：最小的四位数是 1000，最大的四位数是 9999。）（ ）{{ select(1-2) }}

• 96
• 18
• 120
• 84

3. 假设 n 是图的顶点的个数，m 是图的边的个数，为求解某一问题有下面四种不同时间复杂度的算法。对于 m = Θ(n) 的稀疏图而言，下面的四个选项，哪一项的渐近时间复杂度最小。（ ）{{ select(1-3) }}

• O(m√(log n · log log n))
• O(n² + m)
• O(n²/log m + m log n)
• O(m + n log n)

4. 假设有 n 根柱子，需要按照以下规则依次放置编号为 1、2、3、...的圆环：每根柱子的底部固定，顶部可以放入圆环；每次从柱子顶部放入圆环时，需要保证任何两个相邻圆环的编号之和是一个完全平方数。请计算当有 4 根柱子时，最多可以放置（ ）个圆环。（ ）{{ select(1-4) }}

• 7
• 9
• 11
• 5

5. 以下对数据结构的表述不恰当的一项是：（ ）{{ select(1-5) }}

• 队列是一种先进先出（FIFO）的线性结构
• 哈夫曼树的构造过程主要是为了实现图的深度优先搜索
• 散列表是一种通过散列函数将关键字映射到存储位置的数据结构
• 二叉树是一种每个结点最多有两个子结点的树结构

6. 以下连通无向图中，（ ）一定可以用不超过两种颜色进行染色。（ ）{{ select(1-6) }}

• 完全三叉树
• 平面图
• 边双连通图
• 欧拉图

7. 最长公共子序列长度常常用来衡量两个序列的相似度。其定义如下：给定两个序列 X = {x₁, x₂, x₃, ⋯, x_m} 和 Y = {y₁, y₂, y₃, ⋯, y_n}，最长公共子序列（LCS）问题的目标是找到一个最长的新序列 Z = {z₁, z₂, z₃, ⋯, z_k}，使得序列 Z 既是序列 X 的子序列，又是序列 Y 的子序列，且序列 Z 的长度 k 在满足上述条件的序列里是最大的。（注：序列 A 是序列 B 的子序列，当且仅当在保持序列 B 元素顺序的情况下，从序列 B 中删除若干个元素，可以使得剩余的元素构成序列 A。）则序列“ABCAAAABA”和“ABABCBABA”的最长公共子序列长度为（ ）。（ ）{{ select(1-7) }}

• 4
• 5
• 6
• 7

8. 一位玩家正在玩一个特殊的掷骰子的游戏，游戏要求连续掷两次骰子，收益规则如下：玩家第一次掷出 x 点，得到 2x 元；第二次掷出 y 点，当 y=x 时玩家会失去之前得到的 2x 元，而当 y≠x 时玩家能保住第一次获得的 2x 元。上述 x,y∈{1,2,3,4,5,6}。例如：玩家第一次掷出 3 点得到 6 元后，但第二次再次掷出 3 点，会失去之前得到的 6 元，玩家最终收益为 0 元；如果玩家第一次掷出 3 点、第二次掷出 4 点，则最终收益是 6 元。假设骰子掷出任意一点的概率均为 1/6，玩家连续掷两次骰子后，所有可能情形下收益的平均值是多少？（ ）{{ select(1-8) }}

• 7 元
• 35/6 元
• 16/3 元
• 19/3 元

9. 假设我们有以下的 C++ 代码：
int a = 5, b = 3, c = 4;
bool res = a & b || c ^ b && a | c;
请问，res 的值是什么？提示：在 C++ 中，逻辑运算的优先级从高到低依次为：逻辑非（!）、逻辑与（&&）、逻辑或（||）。位运算的优先级从高到低依次为：位非（~）、位与（&）、位异或（^）、位或（|）。同时，双目位运算的优先级高于双目逻辑运算；逻辑非和位非优先级相同，且高于所有双目运算符。（ ）{{ select(1-9) }}

• true
• false
• 1
• 0

10. 假设快速排序算法的输入是一个长度为 n 的已排序数组，且该快速排序算法在分治过程总是选择第一个元素作为基准元素。以下哪个选项描述的是在这种情况下的快速排序行为？（ ）{{ select(1-10) }}

• 快速排序对于此类输入的表现最好，因为数组已经排序。
• 快速排序对于此类输入的时间复杂度是 O(n log n)。
• 快速排序对于此类输入的时间复杂度是 O(n²)。
• 快速排序无法对此类数组进行排序，因为数组已经排序。

11. 以下哪个命令，能将一个名为“main.cpp”的 C++ 源文件，编译并生成一个名为“main”的可执行文件？（ ）{{ select(1-11) }}

• g++ -o main main.cpp
• g++ -o main.cpp main
• g++ main -o main.cpp
• g++ main.cpp -o main.cpp

12. 在图论中，树的重心是树上的一个结点，以该结点为根时，使得其所有的子树中结点数最多的子树的结点数最少。一棵树可能有多个重心。请问下面哪种树一定只有一个重心？（ ）{{ select(1-12) }}

• 4 个结点的树
• 6 个结点的树
• 7 个结点的树
• 8 个结点的树

13. 如图是一张包含 6 个顶点的有向图（顶点编号为 1~6，边集为 2→5、2→6、3→5、1→5、5→6、1→6、1→3、3→4、4→1），但顶点间不存在拓扑序。如果要删除其中一条边，使这 6 个顶点能进行拓扑排序，请问总共有多少条边可以作为候选的被删除边？（ ）{{ select(1-13) }}

• 1
• 2
• 3
• 4

14. 若 n = Σ_i=0^k 16ⁱ·x_i，定义 f(n) = Σ_i=0^k x_i；其中 x_i ∈ {0, 1, ⋯, 15}。对于给定自然数 n₀，存在序列 n₀, n₁, n₂, ⋯, n_m，其中对于 1 ≤ i ≤ m 都有 n_i = f(n_i−1)，且 n_m = n_m−1，称 n_m 为 n₀ 关于 f 的不动点。问在 100₁₆ 至 1A0₁₆ 中，关于 f 的不动点为 9 的自然数个数为（ ）。（ ）{{ select(1-14) }}

• 10
• 11
• 12
• 13

15. 现在用如下代码来计算 xⁿ，其时间复杂度为
double quick_power(double x, unsigned n) {
    if (n == 0) return 1;
    if (n == 1) return x;
    return quick_power(x, n / 2)
        * quick_power(x, n / 2)
        * ((n & 1) ? x : 1);
}（ ）{{ select(1-15) }}

• O(n)
• O(1)
• O(log n)
• O(n log n)

二、阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 √，错误填 ×；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

（1）

#include <iostream>
using namespace std;

unsigned short f(unsigned short x) {
    x ^= x << 6;
    x ^= x >> 8;
    return x;
}

int main() {
    unsigned short x;
    cin >> x;
    unsigned short y = f(x);
    cout << y << endl;
    return 0;
}

假设输入的 x 是不超过 65535 的自然数，完成下面的判断题和单选题：

判断题

16. 当输入非零时，输出一定不为零。（ ）{{ dropdown(2-1)[√, ×] }}

17. 将 f 函数的输入参数的类型改为 unsigned int，程序的输出不变。（ ）{{ dropdown(2-2)[√, ×] }}（2 分）

18. 当输入为“65535”时，输出为“63”。（ ）{{ dropdown(2-3)[√, ×] }}

19. 当输入为“1”时，输出为“64”。（ ）{{ dropdown(2-4)[√, ×] }}

单选题

20. 当输入为“512”时，输出为（ ）{{ select(2-5) }}

• “33280”
• “33410”
• “33106”
• “33346”

21. 当输入为“64”时，执行完第 5 行后 x 的值为（ ）{{ select(2-6) }}

• “8256”
• “4130”
• “4128”
• “4160”

（2）

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

long long solve1(int n) {
    vector<bool> p(n+1, true);
    vector<long long> f(n+1, 0), g(n+1, 0);
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (p[i]) {
            vector<int> d;
            for (int k = i; k <= n; k *= i) d.push_back(k);
            reverse(d.begin(), d.end());
            for (int k : d) {
                for (int j = k; j <= n; j += k) {
                    if (p[j]) {
                        p[j] = false;
                        f[j] = i;
                        g[j] = k;
                    }
                }
            }
        }
    }
    for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++) {
        if (p[i]) {
            f[i] = i;
            g[i] = i;
        }
    }
    long long sum = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        f[i] = f[i / g[i]] * (g[i] * f[i] - 1) / (f[i] - 1);
        sum += f[i];
    }
    return sum;
}

long long solve2(int n) {
    long long sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += i * (n / i);
    }
    return sum;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << solve1(n) << endl;
    cout << solve2(n) << endl;
    return 0;
}

假设输入的 n 是不超过 1000000 的自然数，完成下面的判断题和单选题：

判断题

22. 将第 15 行删去，输出不变。（ ）{{ dropdown(2-7)[√, ×] }}

23. 当输入为“10”时，输出的第一行大于第二行。（ ）{{ dropdown(2-8)[√, ×] }}

24. 当输入为“1000”时，输出的第一行与第二行相等。（ ）{{ dropdown(2-9)[√, ×] }}（2 分）

单选题

25. solve1(n) 的时间复杂度为（ ）{{ select(2-10) }}

• Θ(n log² n)
• Θ(n)
• Θ(n log n)
• Θ(n log log n)

26. solve2(n) 的时间复杂度为（ ）{{ select(2-11) }}

• Θ(n²)
• Θ(n)
• Θ(n log n)
• Θ(n√n)

27. 输入为“5”时，输出的第二行为（ ）{{ select(2-12) }}

• “20”
• “21”
• “22”
• “23”

（3）

#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

bool f0(vector<int>& a, int m, int k) {
    int s = 0;
    for (int i = 0, j = 0; i < a.size(); i++) {
        while (a[i] - a[j] > m) j++;
        s += i - j;
    }
    return s >= k;
}

int f(vector<int>& a, int k) {
    sort(a.begin(), a.end());

    int g = 0;
    int h = a.back() - a[0];
    while (g < h) {
        int m = g + (h - g) / 2;
        if (f0(a, m, k)) {
            h = m;
        } else {
            g = m + 1;
        }
    }

    return g;
}

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> a(n, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    cout << f(a, k) << endl;
    return 0;
}

假设输入总是合法的且 |a[i]| ≤ 10⁸、n ≤ 10000 和 1 ≤ k ≤ n(n-1)/2，完成下面的判断题和单选题：

判断题

28. 将第 24 行的“m”改为“m - 1”，输出有可能不变，而剩下情况为少 1。（ ）{{ dropdown(2-13)[√, ×] }}

29. 将第 22 行的“g + (h - g) / 2”改为“(h + g) >> 1”，输出不变。（ ）{{ dropdown(2-14)[√, ×] }}

30. 当输入为“5 7 2 -4 5 1 -3”，输出为“5”。（ ）{{ dropdown(2-15)[√, ×] }}

单选题

31. 设 a 数组中最大值减最小值加 1 为 A，则 f 函数的时间复杂度为（ ）{{ select(2-16) }}

• Θ(n log A)
• Θ(n² log A)
• Θ(n log (nA))
• Θ(n log n)

32. 将第 10 行中的“>”替换为“>=”，那么原输出与现输出的大小关系为（ ）{{ select(2-17) }}

• 一定小于
• 一定小于等于且不一定小于
• 一定大于等于且不一定大于
• 以上三种情况都不对

33. 当输入为“5 8 2 -5 3 8 -12”时，输出为（ ）{{ select(2-18) }}

• “13”
• “14”
• “8”
• “15”

三、完善程序（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

（1）第 k 小路径

给定一张 n 个点 m 条边的有向无环图，顶点编号从 0 到 n − 1。对于一条路径，我们定义“路径序列”为该路径从起点出发依次经过的顶点编号构成的序列。求所有至少包含一个点的简单路径中，“路径序列”字典序第 k 小的路径。保证存在至少 k 条路径。上述参数满足 1 ≤ n, m ≤ 10⁵ 和 1 ≤ k ≤ 10¹⁸。在程序中，我们求出从每个点出发的路径数量。超过 10¹⁸ 的数都用 10¹⁸ 表示。然后我们根据 k 的值和每个顶点的路径数量，确定路径的起点，然后可以类似地依次求出路径中的每个点。试补全程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int MAXN = 100000;
const long long LIM = 1000000000000000000ll;

int n, m, deg[MAXN];
std::vector<int> E[MAXN];
long long k, f[MAXN];

int next(std::vector<int> cand, long long &k) {
    std::sort(cand.begin(), cand.end());
    for (int u : cand) {
        if (①) return u;
        k -= f[u];
    }
    return -1;
}

int main() {
    std::cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        std::cin >> u >> v; // 一条从 u 到 v 的边
        E[u].push_back(v);
        ++deg[v];
    }
    std::vector<int> Q;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (!deg[i]) Q.push_back(i);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int u = Q[i];
        for (int v : E[u]) {
            if (②) Q.push_back(v);
            --deg[v];
        }
    }
    std::reverse(Q.begin(), Q.end());
    for (int u : Q) {
        f[u] = 1;
        for (int v : E[u]) f[u] = ③;
    }
    int u = next(Q, k);
    std::cout << u << std::endl;
    while (④) {
        ⑤;
        u = next(E[u], k);
        std::cout << u << std::endl;
    }
    return 0;
}

34. ① 处应填（ ）{{ select(3-1) }}

• k >= f[u]
• k <= f[u]
• k > f[u]
• k < f[u]

35. ② 处应填（ ）{{ select(3-2) }}

• deg[v] == 1
• deg[v] == 0
• deg[v] > 1
• deg[v] > 0

36. ③ 处应填（ ）{{ select(3-3) }}

• std::min(f[u] + f[v], LIM)
• std::min(f[u] + f[v] + 1, LIM)
• std::min(f[u] * f[v], LIM)
• std::min(f[u] * (f[v] + 1), LIM)

37. ④ 处应填（ ）{{ select(3-4) }}

• u != -1
• !E[u].empty()
• k > 0
• k > 1

38. ⑤ 处应填（ ）{{ select(3-5) }}

• k += f[u]
• k -= f[u]
• --k
• ++k

（2）最大值之和

给定整数序列 a₀, …, a_n−1，求该序列所有非空连续子序列的最大值之和。上述参数满足 1 ≤ n ≤ 10⁵ 和 1 ≤ a_i ≤ 10⁸。一个序列的非空连续子序列可以用两个下标 l 和 r（其中 0 ≤ l ≤ r < n）表示，对应的序列为 a_l, a_l+1, …, a_r。两个非空连续子序列不同，当且仅当下标不同。例如，当原序列为 [1,2,1,2] 时，要计算子序列 [1]、[2]、[1]、[2]、[1,2]、[2,1]、[1,2]、[1,2,1]、[2,1,2]、[1,2,1,2] 的最大值之和，答案为 18。注意 [1,1] 和 [2,2] 虽然是原序列的子序列，但不是连续子序列，所以不应该被计算。另外，注意其中有一些值相同的子序列，但由于他们在原序列中的下标不同，属于不同的非空连续子序列，所以会被分别计算。解决该问题有许多算法，以下程序使用分治算法，时间复杂度 O(n log n)。试补全程序。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

const int MAXN = 100000;

int n;
int a[MAXN];
long long ans;

void solve(int l, int r) {
    if (l + 1 == r) {
        ans += a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    std::vector<int> pre(a + mid, a + r);
    for (int i = 1; i < r - mid; ++i) ①;
    std::vector<long long> sum(r - mid + 1);
    for (int i = 0; i < r - mid; ++i) sum[i + 1] = sum[i] + pre[i];
    for (int i = mid - 1, j = mid, max = 0; i >= l; --i) {
        while (j < r && ②) ++j;
        max = std::max(max, a[i]);
        ans += ③;
        ans += ④;
    }
    solve(l, mid);
    solve(mid, r);
}

int main() {
    std::cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) std::cin >> a[i];
    ⑤;
    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}

39. ① 处应填（ ）{{ select(3-6) }}

• pre[i] = std::max(pre[i - 1], a[i - 1])
• pre[i + 1] = std::max(pre[i], pre[i + 1])
• pre[i] = std::max(pre[i - 1], a[i])
• pre[i] = std::max(pre[i], pre[i - 1])

40. ② 处应填（ ）{{ select(3-7) }}

• a[j] < max
• a[j] < a[i]
• pre[j - mid] < max
• pre[j - mid] > max

41. ③ 处应填（ ）{{ select(3-8) }}

• (long long)(j - mid) * max
• (long long)(j - mid) * (i - l) * max
• sum[j - mid]
• sum[j - mid] * (i - l)

42. ④ 处应填（ ）{{ select(3-9) }}

• (long long)(r - j) * max
• (long long)(r - j) * (mid - i) * max
• sum[r - mid] - sum[j - mid]
• (sum[r - mid] - sum[j - mid]) * (mid - i)

43. ⑤ 处应填（ ）{{ select(3-10) }}

• solve(0, n)
• solve(0, n - 1)
• solve(1, n)
• solve(1, n - 1)